El de Noether es a mi juicio uno de los teoremas más bellos y profundos que ha dado la ciencia. El teorema de Noether tiene que ver con las simetrías de las leyes físicas, tiene que ver con la estética teórica refrendada por la naturaleza, pero sobre todo es un hermoso secreto arrancado al universo. Y ya lo sabemos, los humanos siempre hemos sentido un gozo especial por los objetos simétricos, sean materiales o de pensamiento y por los secretos.
La naturaleza desborda en simetrías y es lógico, algunas confieren ventajas evolutivas y por lo tanto resulta entendible que sea una característica conservada en todos los seres vivos. Un tigre, por ejemplo, tiene dos ejes de simetría, uno en la dirección de la velocidad que le provee el alimento y el otro en dirección de la gravedad que lo sujeta. Ambos ejes definen su plano de simetría.
Se combinan en las simetrías del tigre lo intrínseco y lo externo, la propia conservación y el vínculo con el planeta. ¿Pero qué ocurre con aquellos seres vivos que por siempre permanecerán fijos en un lugar? Un árbol magnífico y solitario como el roble no tiene una simetría conjugada con el movimiento, pero se mantiene en pie según el ineludible eje de la fuerza gravitatoria.Todas las direcciones horizontales son para el roble idénticas en su objetivo de encontrar luz, oxígeno y sales disueltas, por lo que una rotación arbitraria alrededor de su eje preferencial lo dejará imperturbable, indiferente al cambio.
Algunas flores, pero por otras razones, no tienen la suerte del roble. Es posible obtener la misma azalea luego de girarla por su tallo, pero el giro debe hacerse con esmero porque no cualquier ángulo nos devolverá la flor que teníamos al principio. Podemos decir que el roble tiene una simetría continua puesto que es posible girarlo tan poquito como queramos y aproximadamente seguirá manteniendo su aspecto, en cambio la simetría de la azalea es discreta, ya que sólo cada ciertos ángulos de giro volverá a presentarse similar a como estaba al principio.
En términos subjetivos, un objeto tiene una simetría o es simétrico si luego de operar sobre él luce igual que antes de la manipulación. A la operación sobre el objeto se la suele llamar transformación de simetría. Por ejemplo, la reflexión del espejo, el traslado del objeto una distancia cualquiera o, incluso, la rotación sobre un eje, suelen considerarse transformaciones de simetría básicas y como no cambian las distancias dentro del cuerpo se las llama isometrías.
En concreto, una transformación de simetría de un objeto es una isometría que lleva al objeto sobre sí mismo. Del objeto que admite una simetría se dice que es invariante respecto de dicha simetría y a ella una invariancia. El conjunto de todas las transformaciones de simetría de un objeto es su grupo de simetría, cuya operación interna es la aplicación consecutiva de transformaciones.
Pero el cosmos está tan repleto de simetrías que no sólo las manifiesta de forma visible, sino que también lo hace de manera sutil, impalpable. Sólo la inteligencia es capaz de penetrar en las profundidades secretas de la naturaleza y hallar la belleza oculta de sus leyes.
Debió aparecer el hombre sobre la faz de la Tierra para que esas leyes tuvieran una representación simbólica, incompleta y mejorable, pero magnífica. Y fue a través de ella que logramos la capacidad de descubrir que el mundo era más soberbio de lo que jamás habíamos visto o imaginado. Más allá de la percepción y las imágenes, la naturaleza presenta espléndidas simetrías ocultasen la abstracción, y el teorema de Noether las rescata y las pone en contacto con sus circunstancias palpables.
El enunciado del teorema es simple y corto, tanto que podría pasar desapercibido en una lectura rápida. Dice que a cada simetría continua en la ecuación que representa una ley física le corresponde una cantidad inalterable del mundo y viceversa. O, de forma más amplia, que un grupo con n simetríasimplica la existencia de n cantidades conservadas, es decir, las simetrías continuas implican las leyes de conservación.
Como ilustración del teorema veamos que pasa con la ley más simple de movimiento de los cuerpos:
Como el tigre, el roble y la azalea, esta ecuación tiene sus propias transformaciones de simetría, es decir, se le pueden aplicar transformaciones de manera que luego de aplicárselas tenga la misma forma que al principio. Estas transformaciones forman un grupo de simetría que se conoce con el nombre de grupo de Galileo y está compuesto de siete transformaciones:
Al resolver la ecuación que representa la ley de movimiento nos encontraremos con una relación entre variables que representan al tiempo y a las coordenadas del cuerpo móvil. Si cambiamos esas variables por las nuevas (las que llevan el pequeño tilde) mediante la aplicación de cualquiera de las traslaciones, por la rotación o una sucesión arbitraria de ellas, veremos que la ley de movimiento final tiene la misma forma que la ecuación original. Hemos conseguido una simetría.
Y aquí habla Noether: Existirán, incluso en este caso elemental, cantidades que se conservan.
Y así se ponen en contacto la conocida ley de conservación de la energía con la ignota homogeneidad del tiempo y yo me quedo en silencio, perplejo de asombro.
La naturaleza desborda en simetrías y es lógico, algunas confieren ventajas evolutivas y por lo tanto resulta entendible que sea una característica conservada en todos los seres vivos. Un tigre, por ejemplo, tiene dos ejes de simetría, uno en la dirección de la velocidad que le provee el alimento y el otro en dirección de la gravedad que lo sujeta. Ambos ejes definen su plano de simetría.
Se combinan en las simetrías del tigre lo intrínseco y lo externo, la propia conservación y el vínculo con el planeta. ¿Pero qué ocurre con aquellos seres vivos que por siempre permanecerán fijos en un lugar? Un árbol magnífico y solitario como el roble no tiene una simetría conjugada con el movimiento, pero se mantiene en pie según el ineludible eje de la fuerza gravitatoria.Todas las direcciones horizontales son para el roble idénticas en su objetivo de encontrar luz, oxígeno y sales disueltas, por lo que una rotación arbitraria alrededor de su eje preferencial lo dejará imperturbable, indiferente al cambio.Algunas flores, pero por otras razones, no tienen la suerte del roble. Es posible obtener la misma azalea luego de girarla por su tallo, pero el giro debe hacerse con esmero porque no cualquier ángulo nos devolverá la flor que teníamos al principio. Podemos decir que el roble tiene una simetría continua puesto que es posible girarlo tan poquito como queramos y aproximadamente seguirá manteniendo su aspecto, en cambio la simetría de la azalea es discreta, ya que sólo cada ciertos ángulos de giro volverá a presentarse similar a como estaba al principio.
 |
La simetría es una cuestión de grado. Sólo se puede recuperar el rectángulo original si se lo gira 180º, el cuadrado 90º y el círculo puede girárselo en un ángulo arbitrariamente pequeño. |
En términos subjetivos, un objeto tiene una simetría o es simétrico si luego de operar sobre él luce igual que antes de la manipulación. A la operación sobre el objeto se la suele llamar transformación de simetría. Por ejemplo, la reflexión del espejo, el traslado del objeto una distancia cualquiera o, incluso, la rotación sobre un eje, suelen considerarse transformaciones de simetría básicas y como no cambian las distancias dentro del cuerpo se las llama isometrías.
En concreto, una transformación de simetría de un objeto es una isometría que lleva al objeto sobre sí mismo. Del objeto que admite una simetría se dice que es invariante respecto de dicha simetría y a ella una invariancia. El conjunto de todas las transformaciones de simetría de un objeto es su grupo de simetría, cuya operación interna es la aplicación consecutiva de transformaciones.
Pero el cosmos está tan repleto de simetrías que no sólo las manifiesta de forma visible, sino que también lo hace de manera sutil, impalpable. Sólo la inteligencia es capaz de penetrar en las profundidades secretas de la naturaleza y hallar la belleza oculta de sus leyes.
Debió aparecer el hombre sobre la faz de la Tierra para que esas leyes tuvieran una representación simbólica, incompleta y mejorable, pero magnífica. Y fue a través de ella que logramos la capacidad de descubrir que el mundo era más soberbio de lo que jamás habíamos visto o imaginado. Más allá de la percepción y las imágenes, la naturaleza presenta espléndidas simetrías ocultasen la abstracción, y el teorema de Noether las rescata y las pone en contacto con sus circunstancias palpables.
El enunciado del teorema es simple y corto, tanto que podría pasar desapercibido en una lectura rápida. Dice que a cada simetría continua en la ecuación que representa una ley física le corresponde una cantidad inalterable del mundo y viceversa. O, de forma más amplia, que un grupo con n simetríasimplica la existencia de n cantidades conservadas, es decir, las simetrías continuas implican las leyes de conservación.
Como ilustración del teorema veamos que pasa con la ley más simple de movimiento de los cuerpos:
Como el tigre, el roble y la azalea, esta ecuación tiene sus propias transformaciones de simetría, es decir, se le pueden aplicar transformaciones de manera que luego de aplicárselas tenga la misma forma que al principio. Estas transformaciones forman un grupo de simetría que se conoce con el nombre de grupo de Galileo y está compuesto de siete transformaciones:
| Traslación en el tiempo | t = t + t0 | 1 simetría |
| Traslación en el espacio |  | 3 simetrías, una para cada dirección en el espacio |
| Isotropía del tiempo |  | 3 simetrías, una para cada ángulo elemental de giro |
Al resolver la ecuación que representa la ley de movimiento nos encontraremos con una relación entre variables que representan al tiempo y a las coordenadas del cuerpo móvil. Si cambiamos esas variables por las nuevas (las que llevan el pequeño tilde) mediante la aplicación de cualquiera de las traslaciones, por la rotación o una sucesión arbitraria de ellas, veremos que la ley de movimiento final tiene la misma forma que la ecuación original. Hemos conseguido una simetría.
Y aquí habla Noether: Existirán, incluso en este caso elemental, cantidades que se conservan.
| Simetría | Invariancia de la ecuación | Cantidad conservada |
| Homogeneidad del tiempo | Invariancia de traslación temporal | Conservación de la energía |
| Homogeneidad del espacio | Invariancia de traslación | Conservación de la cantidad de movimiento |
| Isotropía del espacio | Invariancia rotacional | Conservación del momento angular |
Y así se ponen en contacto la conocida ley de conservación de la energía con la ignota homogeneidad del tiempo y yo me quedo en silencio, perplejo de asombro.
Comentarios